Hva er gjennomsnitt? (1)

De fleste av oss har en magefølelse av hva “gjennomsnitt” er, har vi ikke? Selv om vi ikke vet hva definisjonen egentlig er, kan vi stort sett regne ut gjennomsnitt etter noen gitt verdier. Men kan vi stole på magefølelsen vår her? La oss se på en oppgave fra Abelkonkurransen 2019-2020:   

Nils kjører 90 km. Den første halvdelen av strekningen kjører han i 45 km/h. Så kjører han de 45 gjenværende kilometerne i 90 km/h. Hva er gjennomsnittshastigheten hans? 

A) 60km/h
B) 45√2 km/h ≈ 63,6km/h    
C) 65km/h   
D) 67,5 km/h    
E) 45√ 52 km/h ≈ 71,2 km/h

Det intuitive svaret for mange vil være å legge sammen 90 og 45, og deretter dele på 2, som blir 67,5 km/h. Er dette riktig? 

*** Tenk gjennom før du leser videre***

Gjennomsnittshastigheten er definert av følgende formal: v = ^s⁄_t (strekning delt på tid). Siden strekningen er gitt i oppgaven, kan vi regne ut gjennomsnittshastigheten hans dersom vi finner ut hvor mye tid Nils har brukt for turen. Se forklaringen under:

Den magefølelsen av “gjennomsnitt” vi har, heter aritmetisk gjennomsnitt (arithmetic mean). Vi legger verdiene sammen og deler summen på antall verdier. I dette tilfellet kan vi imidlertid ikke bruke det “vanlige” aritmetisk gjennomsnitt til å regne ut svaret, fordi de to verdiene 45 km/t og 90 km/t “veier” forskjellig i forhold til tidsbruk. Den første halvdelen av strekningen bruker Nils 1 time mens på den andre halvdelen bruker han 0,5 timer. Med andre ord tilbringer Nils to tredjedeler av den totale reisetiden i 45 km/t og en tredjedel i 90 km/t, altså ²⁄₃ × 45 + ¹⁄₃ × 90 = 60 km/t . Når vi tar hensyn til forskjellige proporsjon eller “vekt” av verdiene for å regne ut aritmetisk gjennomsnitt, kaller vi dette vektet aritmetisk gjennomsnitt (weighted arithmetic mean).

Hva om de verdiene er ukjente? Kan man fortsatt konstruere en formel for gjennomsnittshastigheten? For eksempel: Nils skal kjøre en total strekning s. Den første halvdelen av strekningen kjører han i hastighet a, og den andre halvdelen kjører han i hastighet b. Hva er gjennomsnittshastigheten hans på hele turen?

*** Tenk gjennom før du leser videre***

Ja, det er mulig resonere seg frem til en formel! Om vi setter a = 45km/t og b = 90km/t inn i formelen, vil svaret bli det samme som vi kom fram over: 60 km/t. I tillegg til dette, viser formelen at strekning s egentlig ikke påvirker den totale gjennomsnittshastigheten v, og v er kun avhengig av de to hastighetene. Uansett om strekningen er 100 km eller 1000 km, så lenge kjører Nils den første halvdelen av strekningen i hastigheten a og den andre halvdelen i hastigheten b, vil gjennomsnittshastigheten hans bli: 2 ÷ ( ¹⁄_a + ¹⁄_b ). Denne typen gjennomsnitt kaller vi harmonisk gjennomsnitt(harmonic mean), og anvendes spesielt til å regne ut gjennomsnittshastighet når strekningen er delt i like mange deler. I den neste artikkel skal jeg snakke litt om en annen type gjennomsnitt - geometrisk gjennomsnitt(geometric mean).